线性代数学习笔记(2)
行列式
定义
线性变换对区域面积产生缩放的比例被称为这个变换的行列式(Determinant) 。记为:det([acbd])
例如若行列式为3,就是说一个区域的面积被放大为原来面积的三倍;若行列式为21,就是说一个区域的面积被缩小为原来面积的一半。
性质
完整概念中的行列式是允许出现负值的,负值表示反转了空间取向,如果i^原来在j^右边,变换后到了j^左边,则这个空间取向被反转了。此时行列式的绝对值仍然表示区域面积的缩放比例。
在三维空间中,行列式表示体积的缩放比例。三维变换中,可以用右手定则判断空间取向:右手食指指向i^方向,右手中指指向j^方向,则大拇指指向为k^方向。如果变换后仍然可以这么做,则空间取向没有反转,行列式为正;否则,只能用左手做,空间取向发生反转,行列式为负。
计算
对于2×2矩阵[acbd]公式是:
det([acbd])=ad−bc
对于3×3矩阵,公式是:
det(adgbehcfi)=a del([ehfi])−b del([dgfi])+c del([dgeh])