OI中的概率学习笔记
容斥原理
现有 {A1,A2,⋯,An} 总共 n 个集合,一直任意多个子集交集的大小,则所有集合并集的大小为:
B⊂{A1,A2,⋯,An}∑(−1)∣B∣+1⋅∣∩Ai∈BAi∣
随机试验
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不能预先确知结果
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实验之前可以预测所有可能结果或范围
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可以在相同条件下重复实验
随机事件
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样本空间的任意一个子集称之为事件
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事件发生:在一次试验中,事件的一个样本点发生
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必然事件:样本空间全集
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不可能事件:空集
事件本身是样本空间的子集,所以事件的运算本质上是集合的运算。
概率
定义:为样本空间的每一个事件定义一个实数,这个实数称为概率。事件 A 的概率称为 P(A) 。
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P(A)≥0
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∑P(A)=1
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设 $A_1, A_2, \cdots $ 是两两互不相容的事件(互斥事件),则有 P(A1∩A2∩⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯
概率的若干性质
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P(∅)=0
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若 A1,A2,⋯,A3 互不相交,则 P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)
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如果 A⊂B,P(B−A)=P(B)−P(A)
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更一般的, P(B−A)=P(B)−P(AB)
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0≤P(A)≤1
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P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
条件概率
定义:已知事件 B 发生时,事件 A 发生的概率为 P(A∣B)=P(B)P(AB)
乘法法则: P(AB)=P(A∣B)⋅P(B)
条件概率性质
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P(∅∣A)=0
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设 B1,⋯,Bn 互不相容,则 P(∪i=1nBi∣A)=∑i=1nP(Bi∣A)
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P(B∣A)=P(A)−P(B∣A)
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P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)−P(BC∣A)
期望
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E[f(x)]=Σf(x)P(X=x)
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定理一: E[c1X1+c2X2+⋯]=c1E[X1]+c2E[X2]+⋯
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定理二: X1,X2 独立,则 E[X1X2]=E[X1]E[X2]
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期望的和 = 和的期望
贝叶斯公式
- 设 B1,B2,⋯,Bn 是样本空间的划分,则有:
P(Bi∣A)=∑1nP(A∣Bj)P(Bj)P(A∣Bi)P(Bi)
样本空间的划分:
B1∪B2∪⋯∪Bn=U(全集)
B1∩B2∩⋯∩Bn=∅